Cari Data

Senin, 23 Januari 2006

Barisan dan Deret

A. Barisan

Barisan adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu.
Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)

Contoh:

1. Un = 2n - 1
adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n Î N = {1,2,3,.....}
Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....


2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n


# BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n


# DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < un =" Sn" un =" Sn'" ut =" 1/2" sn =" 1/2" ut =" Sn" u2 =" U3/U2" 1 =" konstanta" r =" Un" un =" arn-1" a =" suku" r =" rasio" n =" banyak" sn =" a(rn-1)/r-1">1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1> Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < un =" Sn" ut =" Ö" u1xun =" Ö" un =" a" n="1" sganjil =" a" sgenap =" ar" sganjil =" r" m1 =" M0" m0 =" {1+P/100(1)}M0" m2 =" M0" m0 =" {1+P/100(2)}" mn ="M0" mn =" {1" m1 =" M0" m0 =" (1" m2 =" (1+P/100)" m0 =" (1" m0 =" (1" mn =" {1" m0 =" Modal" mn =" Modal" p =" Persen" n =" Banyaknya"> 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <> )

Logaritma

A. Batasan

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n



SIFAT-SIFAT

1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c ® Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c ® aplog bp = c ® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]

2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x

Contoh:

1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat : numerus > 0
x² -4x - 5 < 0
(x-5)(x+1) < 0

-1 < x < 5


2. Sederhanakan

2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 =
3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3

- 3 1/2 = -3 1/2 = -7
3log 31/2 1/2


3. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 !

9log 8 = n
3²log 2³ = n
3/2 3log 2 = n
3log 2 = 2n
3

4log 3 = 2²log 3
= 1/2 ²log 3
= 1/2 ( 1/(³log 2) )
= 1/2 (3 / 2n)
= 3/4n


4. Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

log (a²/b4)
log (a/b²)²
2 log ( a/b²)
log ( a/b² )
log ³Ö(b²/a) = -24
= -24
= -24
= -12
= log (b²/a)1/3
= 1/3 log (b² / a)
= -1/3 log (a/b²)
= -1/3 (-12) = 4

B. Persamaan Logaritma
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x)

alog f(x) = b ® f(x) =ab

f(x)log a = b ® (f(x))b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1. xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16

2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)

3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4

4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3
²log x = 3
x1 = 2³ = 8

p2 = -1
²log x = -1
x2 = 2-1 = 1/2

C. Pertidaksamaan Logaritma
Bilangan pokok a > 0 ¹ 1
Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1

0 < a < 1

a log f(x) > b ® f(x) > ab
a log f(x) < b ® f(x) < ab

(tanda tetap)


a log f(x) > b ® f(x) < ab
a log f(x) <> ab

(tanda berubah)
syarat f(x) > 0


Contoh:

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

1. ²log(x² - 2x) < 3
a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap

- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4

1. x² - 2x < 2³
x² - 2x -8 < 0
(x-4)(x+2) < 0
-2 < x < 4

2. syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x <> 2

2. 1/2log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah


x < - 2 atau x > 2

1. (x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0
x < -2 atau x > 2

2. syarat : x² - 3 > 0
(x - Ö3)(x + Ö3) > 0
x < Ö3 atau x > Ö3

BURSA Komputer Termurah : Duta Computer

PENTIUM III SECOND
INTEL Pentium 777 s/d 888 Mhz
MB.Asus. dll/ HDD 10 Giga, Ram 256 MB
Casing Tower, Monitor 17", Keyboard + Mouse Optic Baru
Bonus : Mouse Pad Bantal, Cover Computer, Stavolt, speker aktif
Harga : Rp 920.000


PENTIUM IV SECOND
INTEL Pentium 2.26 GHz
MB.HP/Asus/GigaByte/DL, LHDD 30 GB,DDR 512 MB
Casing Tower, Monitor 17", Keyboard + Mouse Optic Baru
Bonus : Mouse Pad Bantal, Cover Computer, Stavolt, speker aktif
Harga : Rp.1.350.000


PENTIUM IV BARU
INTEL Pentium 2.6 GHz
MB.Amptron/EXTREME, HDD 80 GB, DDR 2 1 Giga
Casing Tower,DVD RW LG/ SAMSUNG 24x, Monitor 15" Treq , Keyboard + Mouse Optic Baru
Bonus : Mouse Pad Bantal, Cover Computer, Stavolt, speker aktif
Harga : Rp.2.350.000


PENTIUM IV DULE CORE BARU
INTEL Pentium 2.6 GHz
MB.Amptron/EXTREME, HDD 250 GB, DDR 2 1 Giga
Casing Tower, DVD RW LG/ SAMSUNG 24x, Monitor 15" Treq , Keyboard + Mouse Optic Baru
Bonus : Mouse Pad Bantal, Cover Computer, Stavolt, speker aktif
Harga : Rp.2.900.00


Keterangan: Harga sewaktu- waktu dapat berubah

Duta Computer : Harga ok siap antar

Duta Computer : Pasang Biling Warnet 30 Ribu, Bergaransi

Tagihan Listrik

On-Line